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선형 대수 예제
단계 1
단계 1.1
특성방정식 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.
단계 1.2
크기가 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 정방행렬입니다.
단계 1.3
알고 있는 값을 에 대입합니다.
단계 1.3.1
에 를 대입합니다.
단계 1.3.2
에 를 대입합니다.
단계 1.4
간단히 합니다.
단계 1.4.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.4.1.1
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
단계 1.4.1.2.1
에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.2
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.2.1
에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.2.2
에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.3
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.3.1
에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.3.2
에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.4
에 을 곱합니다.
단계 1.4.2
해당하는 원소를 더합니다.
단계 1.4.3
Simplify each element.
단계 1.4.3.1
를 에 더합니다.
단계 1.4.3.2
를 에 더합니다.
단계 1.5
Find the determinant.
단계 1.5.1
행렬의 행렬식은 공식을 이용해 계산합니다.
단계 1.5.2
행렬식을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1.1
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
단계 1.5.2.1.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.5.2.1.1.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.5.2.1.1.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.5.2.1.2
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.1
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.3
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.4
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 1.5.2.1.2.1.5
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.5.1
를 옮깁니다.
단계 1.5.2.1.2.1.5.2
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.6
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.7
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 1.5.2.1.3
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 1.5.2.3
와 을 다시 정렬합니다.
단계 1.6
특성다항식이 이 되도록 하여 고유값 를 구합니다.
단계 1.7
에 대해 풉니다.
단계 1.7.1
AC 방법을 이용하여 를 인수분해합니다.
단계 1.7.1.1
형태를 이용합니다. 곱이 이고 합이 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 이고 합은 입니다.
단계 1.7.1.2
이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.
단계 1.7.2
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
단계 1.7.3
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 1.7.3.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 1.7.3.2
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 1.7.4
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 1.7.4.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 1.7.4.2
방정식의 양변에서 를 뺍니다.
단계 1.7.5
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
단계 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
단계 3
단계 3.1
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
단계 3.2
간단히 합니다.
단계 3.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 3.2.1.1
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
단계 3.2.1.2.1
에 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.2
에 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.3
에 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.4
에 을 곱합니다.
단계 3.2.2
해당하는 원소를 더합니다.
단계 3.2.3
Simplify each element.
단계 3.2.3.1
에서 을 뺍니다.
단계 3.2.3.2
를 에 더합니다.
단계 3.2.3.3
를 에 더합니다.
단계 3.2.3.4
에서 을 뺍니다.
단계 3.3
Find the null space when .
단계 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
단계 3.3.2
기약 행 사다리꼴을 구합니다.
단계 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
단계 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
단계 3.3.2.1.2
을 간단히 합니다.
단계 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
단계 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
단계 3.3.2.2.2
을 간단히 합니다.
단계 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
단계 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
단계 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
단계 3.3.6
Write as a solution set.
단계 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
단계 4
단계 4.1
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
단계 4.2
간단히 합니다.
단계 4.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.2.1.1
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
단계 4.2.1.2.1
에 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.2
에 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.3
에 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.4
에 을 곱합니다.
단계 4.2.2
해당하는 원소를 더합니다.
단계 4.2.3
Simplify each element.
단계 4.2.3.1
를 에 더합니다.
단계 4.2.3.2
를 에 더합니다.
단계 4.2.3.3
를 에 더합니다.
단계 4.2.3.4
를 에 더합니다.
단계 4.3
Find the null space when .
단계 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
단계 4.3.2
기약 행 사다리꼴을 구합니다.
단계 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
단계 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
단계 4.3.2.1.2
을 간단히 합니다.
단계 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
단계 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
단계 4.3.2.2.2
을 간단히 합니다.
단계 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
단계 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
단계 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
단계 4.3.6
Write as a solution set.
단계 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
단계 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.